Matematica discreta Esempi

$p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$

Passaggio 1

Scrivi $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ come un'equazione.

$y = - 70 x^{2} + 15000 x$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - 70 y^{2} + 15000 y$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 70 y^{2} + 15000 y = x$ .

$- 70 y^{2} + 15000 y = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 70 y^{2} + 15000 y - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 70$ , $b = 15000$ e $c = - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (- 70 \cdot (- x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $15000$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $280$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $40$ da $225000000 - 280 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.3.1

Scomponi $40$ da $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.3.2

Scomponi $40$ da $- 280 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.3.3

Scomponi $40$ da $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $40 (5625000 - 7 x)$ come $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ .

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $15000$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $280$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $40$ da $225000000 - 280 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.3.1

Scomponi $40$ da $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.3.2

Scomponi $40$ da $- 280 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.3.3

Scomponi $40$ da $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $40 (5625000 - 7 x)$ come $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ .

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $15000$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot - 70 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 70 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 280 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $280$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.3

Scomponi $40$ da $225000000 - 280 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.3.1

Scomponi $40$ da $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) - 280 x}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.3.2

Scomponi $40$ da $- 280 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000) + 40 (- 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.3.3

Scomponi $40$ da $40 (5625000) + 40 (- 7 x)$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{40 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $40 (5625000 - 7 x)$ come $2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $40$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{4 (10) (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (10 (5625000 - 7 x))}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{2 \cdot - 70}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 70$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 15000 \pm 2 \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{- 140}$ .

$y = \frac{7500 \pm \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

$y = \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 5

Verifica se $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ è l'inverso di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ e $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{5625000}{7}]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{10 (5625000 - 7 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$10 (5625000 - 7 x) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 (5625000 - 7 x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 (5625000 - 7 x) \geq 0$ .

$\frac{10 (5625000 - 7 x)}{10} \geq \frac{0}{10}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 (5625000 - 7 x)}{10} \geq \frac{0}{10}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $5625000 - 7 x$ per $1$ .

$5625000 - 7 x \geq \frac{0}{10}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $10$ .

$5625000 - 7 x \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $5625000$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 7 x \geq - 5625000$

Passaggio 5.3.2.3

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x \geq - 5625000$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x \geq - 5625000$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 x}{- 7} \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

Passaggio 5.3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 5625000}{- 7}$

Passaggio 5.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x \leq \frac{5625000}{7}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, \frac{5625000}{7}]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ è l'intervallo di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ e l'intervallo di $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ è il dominio di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ , allora $p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$ è l'inverso di $p (x) = - 70 x^{2} + 15000 x$ .

$p^{- 1} (x) = \frac{7500 + \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}, \frac{7500 - \sqrt{10 (5625000 - 7 x)}}{70}$

Passaggio 6